Conociendo el mundo de las matemáticas

FUNCIÓN AFÍN

¿Qué es?

La función afín, o la función lineal es toda función real de la forma f(x) = mx + b, cuya variable es de primer grado, y m y b son constantes reales.

Ejemplos

a) La función y = 2x - 3 es afín, con m = 2 y b = -3.

b) La función y = 5 es afín, con m = 0 y b = 5.

Representación gráfica de una función afín

La representación gráfica de una función afín en el plano cartesiano es una recta que no es vertical, y para representarla basta determinar dos de sus puntos en el plano y trazar la recta que pasa por ellos.

Ejemplos

Representar gráficamente las siguientes funciones:

a) f(x) = 2x - 3

Esta es una función afín con m = 2 y b = -3. 

Si se hace x = 0, entonces se tiene que

f(x) = 2 * 0 - 3 = 0 - 3 = -3

Esto indica que pasa por el punto P(0, -3).

Por otro lado,f(1) = 2 * 1 - 3 = 2 - 3 = -1.

Luego la recta pasa por el punto Q(1, -1).

Conocidos estos dos puntos P y Q, se traza el gráfico de la función afín dada. 

b) f(x) = -3x + 2

La función es afín con m = -3 y b = 2.

Se tiene que f(0) = -3 * 0 + 2 = 0 + 2 = 2, y f(1) = -3 * 1 + 2 = -3 + 2 = -1; se escogió arbitrariamente x = 0 primero, y luego x = 1. Esto indica que la recta pasa por los puntos P(0,2) y Q(1,-1). Su gráfico está en la figura.

c) f(x) = 3 

Esta es una función afín, con m = 0 y b = 3. Se tiene que f(0) = f(1) = 3. Por lo tanto la recta pasa por los puntos (0,3) y (1,3). Su gráfico es la recta horizontal representada en la figura.

Toda función afín f(x) = mx + b está representada gráficamente por una recta que no es vertical. Esto implica que las rectas de la forma x = a, con a constante, no representa una función afín, pues en este caso m no tiene valor, a diferencia de una función afín de la forma y = a, donde el valor de m es 0.

Puntos de corte con los ejes

En las funciones afines es útil determinar el valor de y primero haciendo x = 0; porque, así se obtiene el punto donde el gráfico de la función corta el eje vertical. Esto ocurre también con cualquier función. Para determinar dónde corta el gráfico de la función al eje horizontal se analiza lo siguiente: un punto está en el eje horizontal si la distancia del punto al eje es cero, es decir, si la ordenada del punto es 0. Por lo tanto, basta hacer y = 0 en la función y así despejar x para obtener la abscisa del punto desconocido.

Ejemplos

Determinar los puntos de corte del gráfico de la función afín con los ejes de las coordenadas y representarla gráficamente

a) y = 3x - 2

Para hallar el punto de corte de la recta con el eje vertical se hace x = 0 y se despeja la x, así:

y = 3 * 0 - 2 = 0 - 2 = -2

Luego el punto de corte es (0,-2)

Para hallar el punto de corte de la recta horizontal, se hace y = 0 así:

0 = 3x - 2 para que 2 = 3x; luego 2/3 = x y finalmente x = 2/3.

El punto de corte es (2/3,0)

PENDIENTE ORDENADA Y EN EL ORIGEN

Pendiente (m) de una recta

Así como la pendiente de un camino se asocia al grado de inclinación que tiene con respecto a un plano, en matemática se puede asociar la pendiente de una recta (más o menos inclinada) con la inclinación de dicha recta respecto al eje horizontal. En una función lineal definida como y = mx + b, el número constante m se denomina pendiente de la función lineal o pendiente de la recta que representa. Según el valor de m, la función y = mx + b es creciente, decreciente o constante:

-Función creciente: como en el caso de f(x) = 2x - 3 (con m = 2). A medida que aumenta el valor de la abscisa aumenta el valor de la ordenada. Como f (0) = 2 * 0 - 3, entonces el punto (0, -3) es el corte de la recta con el eje vertical. Si se toma la abscisa mayor que 0, por ejemplo 1, se tiene que f(1) = 2 * 1 - 3 = -2 y se nota que en el punto (1,-2) la ordenada es mayor que la ordenada en 0. 

-Función decreciente: a medida que aumenta el valor de la abscisa, disminuye el valor de la ordenada como en el caso f(x) = -x + 2 (con m = -1). Como f(0) = -0 + 2 = 2, entonces el punto (0,2) es el corte de la rcta con el eje vertical. Si se toma la abscisa mayor que 0, por ejemplo 1, se tiene que f(a) = -1 + 2 = 1 y en el punto (1,1) la ordenada es menor que la ordenada en 0. 

-Función constante: Esta es una recta horizontal como en el caso de f(x) = 5 (con m = 0) que corta al eje vertical en el punto (0,5) y permanece constante.

Ordenada (b) en el origen

En una función lineal y = mx + b, el número constante b se denomina ordenada en el origen de la función; pues si se hace x = 0 se obtiene y = m * 0 + b = b; luego (0,b) es el punto de corte del eje Y con el gráfico de la función afín, es decir, b es la ordenada del punto de corte del eje vertical con la recta dada por la función afín.

Ejemplo

a) Hallar el punto de corte de la función afín y = 5x - 8 con el eje vertical. Como b = -8 entonces el punto de corte con el eje vertical es (0, -8).

Posición de rectas en el plano según sus pendientes

Si dos rectas son paralelas, entonces al cortar el eje horizontal se forman dos ángulos correspondientes congruentes ∢ 1 = ∢ 2. Por lo tanto, las dos rectas tienen la misma inclinación con respecto al eje horizontal, y en consecuencia tienen igual pendiente.

-Dos rectas dadas por su función afín son paralelas siempre y cuando tengan la misma pendiente.

-Dos rectas son perpendiculares si y solo si el producto de ambas pendientes es igual a -1.

Ejemplo

Hallar la función cuya gráfica pasa por P(-1,2) y es paralela a y = 2x + 3. La función buscada es de la forma y = mx + b; por lo cual se deben hallar los valores de m y de b.

Como ambas funciones tienen la misma pendiente, m = 2; la función debe ser de la forma y = 2x + b.

Ya que el punto P  está en la recta, sus coordenadas x = -1 y y = 2 deben satisfacer la ecuación así: 2 = 2 * (-1) + b → 2 = -2 + b → b = 4.

La función buscada es: y = mx + b.

Ecuación de la pendiente

Es posible calcular la pendiente de una recta que pasa por dos puntos dados P y Q. Si P(x1, y2) son dos puntos que pertenecen a la función y = mx + b, entonces se cumple que : y1 = mx1 + b; y y2 = mx2 + b. Al despejar b en cada ecuación se tiene que: 

b = y1 - mx1

b = y2 - mx2

Los valores x1 y x2 deben ser distintos puesto que no se puede dividir entre cero; en caso de que fuesen iguales, la recta que pasa por los puntos es vertical y no tiene pendiente.

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

Ecuación general de la recta

El inconveniente que posee la ecuación se basa en la y = mx + b, esta no representa las rectas verticales en el plano cartesiano. Si se despeja el número 0, la ecuación anterior puede escribirse en la forma Ax + By + C = 0, y de esta manera se representa en cualquier recta en el plano. Entonces la ecuación Ax + By + C= 0 se denomina ecuación general de la recta, en la cual los coeficientes A y B no pueden ser nulos. 

Si A= 0, entonces la ecuación general se convierte en By +  C = 0, que al despejar y resulta y = - C/B, y esta representa una recta horizontal. 

Si B = 0, entonces la ecuación general de la recta se convierte en Ax + C = 0. Al despejar la X la ecuación queda x = - C/A, la cual representa una recta vertical. 

En cualquier otro caso, queda la ecuación Ax + By + C = 0, al despejar la y, se obtiene  que y = ( - A/B)X + ( - C/B), y al comparar con la función lineal queda como y = mx + b, se tiene que la pendiente es m = - A/B y la ordenada en el origen es b = - C/B. 

Ejemplo: 

y = ( - 3/5)X + 2. 

Al igualarla a 0 se tiene que y + 3/5 X - 2 = 0 →  5y + 3x - 10 = 0. 

→ 3x + 5y - 10 = 0. Entonces la ecuación general de la recta es 3x + 5y - 10 = 0. 

Construcción de la ecuación de la recta

La ecuación de la recta, bien sea en su forma principal o en su forma general, se puede construir en cualquiera de los siguientes casos: 

-Dada la pendiente de la recta y la ordenada en el origen

-Dada los puntos de la recta

-Dados un punto y la pendiente de la recta

-Dados un punto y una recta paralela o perpendicular

Ejemplos

a) Determinar la ecuación general de la recta si la pendiente es -2 y su ordenada en el origen es 12. Luego hallar dos puntos en esa recta y otro que no esté en ella.

Se puede escribir la función lineal y = -2x + 12; al despejar 0 se obtiene la ecuación general 2x + y - 12 = 0.

Por otro lado, si x = 0, entonces y = (-2) * 0 + 12 = 12 y un punto de la recta es (0,12); si x = 1, entonces (-2) * 1 +12 = 10, y otro punto de la recta es (1,10).

Como para y = 10, x debe valer 1, se tiene que el punto (0,10) no está en dicha recta pues x = 0.

b) Determinar la ecuación de la recta que pasa por P(-2,3) y Q(1,3). Debido a que las ordenadas de ambos puntos son iguales, se tiene que la recta es horizontal y su ecuación es y = 3. Su ecuación general es y - 3 = 0.

Fórmula para hallar la ecuación de la recta dados dos puntos. 

Hay una fórmula que permite hallar la ecuación de la recta dados dos puntos, sin necesidad de calcular de antemano la pendiente : considera los puntos A (x1, y1) y B (x2, y2); la siguiente expresión representa a la recta que pasa por los puntos A y B: y - y1 = y2 - y1/ x2 - x1 multiplicado por ( x - x1).

Fórmula que permite hallar la ecuación de una recta conocida su pendiente m y un punto de ella. 

Sea A(x1, y1). La ecuación de la recta cuya pendiente es m que pasa A está dada por la siguiente ecuación: y - y1 = m ( x- x1).

Al aplicar la formula en este ejemplo con m = 4 y A (3,4). 

Se tiene que: y - 4 = 4 ( x - 3)→ y - 4 = 4x - 12 

                                                         → y - 4x - 8 = 0.

Ejemplos: 

a) Calcular la ecuación de una recta cuya pendiente es 4 y que pasa por el punto A (3,4).

    La ecuación queda en que y = 4x + b; ya que el punto A pertenece a la recta. se tiene que: 4 = 4 x 3 + b  → 4 = 12 + b 

            → 4 - 12 = b 

           → b = - 8. 

Proyecciones Ortogonales

PROYECCIONES ORTOGONALES

- Proyección Ortogonal de un Punto Sobre una Recta: 

  La sombra producida por una figura depende de la posición del foco luminoso que incide sobre ella. Sea P un punto y sea L una recta cualquiera, se llama proyección ortogonal de P sobre L al punto de intersección A entre la recta L y la recta perpendicular a L que pasa por P. Esa recta perpendicular se llama la proyectante de P sobre L. Un claro ejemplo de ello, es la imagen a continuación:

- Proyección Ortogonal de una Línea Sobre una Recta:

  Para determinar la proyección ortogonal de una línea cualquiera sobre una recta, se deben buscar las proyecciones ortogonales de su origen y su extremo; el segmento determinado por dichas proyecciones será la proyección de la línea original. Hay que recordar, que dos rectas perpendiculares entre sí, son aquellas que forman un ángulo de 90º.

- Casos Particulares de la Proyección Ortogonal: 

 a) Proyección de un Punto Sobre una Recta: Sea A un punto y L una recta, se tiene que si A está fuera de la recta L el punto A' es su proyección sobre la recta. Un claro ejemplo es el que encontramos a continuación. 

  
b) Proyección de un Segmento Sobre una Recta: Proyectar un segmento sobre una recta dependerá de la posición del segmento con respecto a la recta.

 + Si PQ es paralelo a L, es decir, PQ es paralelo a AB. Un ejemplo es:

 + Si AB es perpendicular a L, la proyección es el punto A'B': Como se observa a continuación 

+ Si AB intersecta a L, se trazan perpendiculares, y se marcan los puntos de corte sobre L. Como se observa en la gráfica, la proyección son los puntos A'B'

  

+ Si PQ no es ni paralelo ni perpendicular a A, estamos en presencia de este caso:

 c) Proyección de una Figura Sobre una Recta: La proyección de figuras planas, es decir, que tienen dos dimensiones: largo y ancho, origina proyecciones en una sola dimensión. Las proyecciones ortogonales de cuerpos, es decir que tiene tres dimensiones: largo, ancho y alto, son figuras planos. Un ejemplo de este caso es lo que sucede con la sombra de un cuerpo cuando es iluminado por el sol

Simetría Axial

SIMETRÍA AXIAL

Definición: La simetría axial es una transformación del plano o espacio en la cual, a cada punto P, se asocia otro punto P’ llamado imagen de P, de manera que P y P’ están a igual distancia de una recta llamada “eje de simetría”, y el segmento PP’ es perpendicular a dicho eje. 
  Un ejemplo de Simetría axial, es el que se puede apreciar en la siguiente imagen; donde cabe decir que se observa el triángulo A’B’C’ que es la imagen simétrica del triángulo ABC respecto al eje de simetría "e":

 

  Imagen Simétrica de un Segmento:

  La imagen simétrica de un segmento, dado un eje de simetría, se determina hallando la imagen de cada extremo del segmento, luego se traza el segmento que une a ambas imágenes.

- Procedimiento:

1.- Se trazan rectas perpendiculares a “m” por A y B. Se marca el punto A’ tal que su distancia al eje “m” sea igual que del eje “m” a A. De igual forma para B’.

2.- Se unen las imágenes A’ y B’, y el segmento A’B’ es la imagen simétrica del segmento AB, respecto al eje de simetría “m”.

  Imagen Simétrica de un Polígono y de una Circunferencia Respecto a un Eje de Simetría:

  La imagen simétrica de un polígono respecto a un eje de simetría se parece mucho a la imagen de un objeto reflejado en un espejo. Para determinarla se halla la imagen simétrica de cada uno de los vértices del polígono, de la misma forma como se determinó la imagen simétrica de un segmento. Luego se unen.

- Procedimiento:

1.- Se determinan la imágenes simétricas A’, B’, C’, y D’ de los puntos A, B, C y D respectivamente

2.- Se unen los puntos obtenidos para formar el polígono, para que finalmente podamos obtener lo siguiente:

  Para trazar la imagen simétrica de una circunferencia se halla la imagen simétrica de cuerpo respecto al eje y, luego, con el mismo radio, se dibuja la nueva circunferencia. 

Las Traslaciones

TRASLACIONES

Definición: Podemos definir la traslación como el recurso mediante el cual se puede hallar la imagen de un punto según un vector dado. Para ello se traza un vector equipolente al dado, cuyo origen sea el punto. Un ejemplo de una traslación es el que se puede ver en la imagen a continuación.

Procedimiento: 

1) Se traza un vector equipolente a U cuyo origen sea el punto P

2) Se marca el punto P' que es la imagen de P

- Traslaciones en el Plano Cartesiano

  Para hallar la imagen de un punto X dado un vector de traslación U, se traza un vector equipolente al vector U partiendo de X. 

- Cálculo de las Coordenadas de la Imagen de un Punto Según una Traslación

  Para obtener las coordenadas de un punto, que es imagen de otro dado mediante un vector de traslación, se usa la propiedad que indica que los componentes de dos vectores equipolentes son iguales. 

- Traslación de un Segmento y de una Recta

  La imagen de un segmento, mediante un vector de traslación se determina hallando las imágenes de los extremos del segmento a través del mismo vector y trazando el segmento que une las imágenes. En el caso de las rectas, al igual que los segmentos, la traslación de una recta es otra recta paralela a ella. 
  En este ejemplo de traslación de segmentos, podemos notar que los segmentos AB y A'B' son de igual medida y paralelos entre sí

- Traslación de un Ángulo

  La imagen de ángulo por una traslación, es un ángulo de igual medida al ángulo dado con sus lados respectivos paralelos entre sí. Para determinarla se hallan las imágenes del vértice y luego las imágenes semirrectas que conforman el ángulo. 

- Traslación de un Polígono

  La imagen de un polígono cualquier traslación se determina hallando la imagen de cada uno de los lados que forman el polígono. Para ello, se halla la imagen de los vértices que lo forman, y luego se trazan los lados respectivos. A continuación se observa  la imagen del triángulo ABC, bajo la traslación del vector.

- Traslación de una Circunferencia

  Para hallar la imagen de una circunferencia de centro O y radio K, mediante un vector de traslación U, se halla la imagen del centro O, a saber O', y la imagen de un punto cualquiera de la circunferencia, llámese A dicho punto y A' su imagen. 
  Un claro ejemplo de esto es la imagen presentada a continuación:

Las Rotaciones

ROTACIONES

 Los Movimientos Rotatorios:

  Algunos elementos de la naturaleza o algunos objetos, describen movimientos de rotación, bien sea en sí mismos o con respecto a otro. Por ejemplo, la Luna con respecto a la Tierra genera un movimiento de rotación pues gira alrededor de ella, pero también la Tierra en sí misma realiza el mismo movimiento.

  Otros ejemplos de movimientos rotatorios son los que se pueden observar en la siguiente imagen:

- Ángulos Dirigidos: 

  Tiene un lado inicial y un lado final. Se dice que el ángulo dirigido es positivo si el giro que transforma un lado del ángulo en el otro sentido contrario al de las agujas del reloj, mientras que es negativo si el sentido es igual al de las agujas del reloj. A continuación se presentará cómo es un ángulo positivo, y otro negativo dentro de una circunferencia:

    A la medida del ángulo, sin importar el sentido del mismo, se le llama "Amplitud del Ángulo"

- Rotación en el plano:   

  Si se tiene un punto “O” fijo en el plano y un ángulo dirigido “a”, la rotación de centro “O” y ángulo “a” de un punto P cualquiera es una transformación en el plano que asigna a P a un punto único P´ llamado imagen de P. Un ejemplo de esto se puede apreciar en la siguiente imagen; donde hay que tomar en cuenta que en el lugar donde están los punto A y A’, debería ir P y P’ respectivamente:

  Para hallar la imagen de cualquier punto P del plano bajo un ángulo de rotación es preciso conocer el ángulo dirigido y el centro de rotación

- Simetría Central: 

  La simetría central de un punto o figura es una rotación cuya amplitud es 180^o. 

- Rotación de Segmentos: 

  La imagen de un segmento, bajo cualquier rotación se determina hallando los puntos que son imagen de los extremos que forman el segmento, y luego trazando el segmento que une a ambos puntos.

  Un segmento y su imagen bajo una rotación tienen igual longitud. Por ello, los segmentos A’B’ y AB tienen igual medida, pues A’B’ es la imagen del segmento AB bajo la rotación de centro O y de amplitud “a”.

  

  En la siguiente imagen se puede visualizar cómo se efectúa dicha rotación:

- Rotación de un Polígono:

  La imagen de un polígono bajo cualquier rotación, se determina hallando la imagen de cada uno de sus vértices bajo la rotación. Y luego uniendo los vértices hallados. 

 A continuación podemos ver como un polígono puede efectuar la acción de rotar moviéndose a 60^o_.

- Rotación de un Polígono en el Plano Cartesiano:

 Para hallar la imagen de un polígono en el plano cartesiano bajo una rotación, se determina la imagen de cada vértice y se hallan las coordenadas de los vértices de la imagen del polígono original.

- Determinación del Centro de Rotación: 

  Conocer el centro de rotación de un objeto, resulta conveniente para calcular el movimiento que realizará el mismo.

  De igual manera, si se quiere determinar el centro de rotación de un segmento o polígono, se trazan segmentos que unan dos extremos o vértices y con las mediatrices de esos segmentos se encuentra el centro de rotación.