FUNCIÓN AFÍN
¿Qué es?
La función afín, o la función lineal es toda función real de la forma f(x) = mx + b, cuya variable es de primer grado, y m y b son constantes reales.
Ejemplos
a) La función y = 2x - 3 es afín, con m = 2 y b = -3.
b) La función y = 5 es afín, con m = 0 y b = 5.
Representación gráfica de una función afín
La representación gráfica de una función afín en el plano cartesiano es una recta que no es vertical, y para representarla basta determinar dos de sus puntos en el plano y trazar la recta que pasa por ellos.
Ejemplos
Representar gráficamente las siguientes funciones:
a) f(x) = 2x - 3
Esta es una función afín con m = 2 y b = -3.
Si se hace x = 0, entonces se tiene que
f(x) = 2 * 0 - 3 = 0 - 3 = -3
Esto indica que pasa por el punto P(0, -3).
Por otro lado,f(1) = 2 * 1 - 3 = 2 - 3 = -1.
Luego la recta pasa por el punto Q(1, -1).
Conocidos estos dos puntos P y Q, se traza el gráfico de la función afín dada.
b) f(x) = -3x + 2
La función es afín con m = -3 y b = 2.
Se tiene que f(0) = -3 * 0 + 2 = 0 + 2 = 2, y f(1) = -3 * 1 + 2 = -3 + 2 = -1; se escogió arbitrariamente x = 0 primero, y luego x = 1. Esto indica que la recta pasa por los puntos P(0,2) y Q(1,-1). Su gráfico está en la figura.
c) f(x) = 3
Esta es una función afín, con m = 0 y b = 3. Se tiene que f(0) = f(1) = 3. Por lo tanto la recta pasa por los puntos (0,3) y (1,3). Su gráfico es la recta horizontal representada en la figura.
Toda función afín f(x) = mx + b está representada gráficamente por una recta que no es vertical. Esto implica que las rectas de la forma x = a, con a constante, no representa una función afín, pues en este caso m no tiene valor, a diferencia de una función afín de la forma y = a, donde el valor de m es 0.
Puntos de corte con los ejes
En las funciones afines es útil determinar el valor de y primero haciendo x = 0; porque, así se obtiene el punto donde el gráfico de la función corta el eje vertical. Esto ocurre también con cualquier función. Para determinar dónde corta el gráfico de la función al eje horizontal se analiza lo siguiente: un punto está en el eje horizontal si la distancia del punto al eje es cero, es decir, si la ordenada del punto es 0. Por lo tanto, basta hacer y = 0 en la función y así despejar x para obtener la abscisa del punto desconocido.
Ejemplos
Determinar los puntos de corte del gráfico de la función afín con los ejes de las coordenadas y representarla gráficamente
a) y = 3x - 2
Para hallar el punto de corte de la recta con el eje vertical se hace x = 0 y se despeja la x, así:
y = 3 * 0 - 2 = 0 - 2 = -2
Luego el punto de corte es (0,-2)
Para hallar el punto de corte de la recta horizontal, se hace y = 0 así:
0 = 3x - 2 para que 2 = 3x; luego 2/3 = x y finalmente x = 2/3.
El punto de corte es (2/3,0)
PENDIENTE ORDENADA Y EN EL ORIGEN
Pendiente (m) de una recta
Así como la pendiente de un camino se asocia al grado de inclinación que tiene con respecto a un plano, en matemática se puede asociar la pendiente de una recta (más o menos inclinada) con la inclinación de dicha recta respecto al eje horizontal. En una función lineal definida como y = mx + b, el número constante m se denomina pendiente de la función lineal o pendiente de la recta que representa. Según el valor de m, la función y = mx + b es creciente, decreciente o constante:
-Función creciente: como en el caso de f(x) = 2x - 3 (con m = 2). A medida que aumenta el valor de la abscisa aumenta el valor de la ordenada. Como f (0) = 2 * 0 - 3, entonces el punto (0, -3) es el corte de la recta con el eje vertical. Si se toma la abscisa mayor que 0, por ejemplo 1, se tiene que f(1) = 2 * 1 - 3 = -2 y se nota que en el punto (1,-2) la ordenada es mayor que la ordenada en 0.
-Función decreciente: a medida que aumenta el valor de la abscisa, disminuye el valor de la ordenada como en el caso f(x) = -x + 2 (con m = -1). Como f(0) = -0 + 2 = 2, entonces el punto (0,2) es el corte de la rcta con el eje vertical. Si se toma la abscisa mayor que 0, por ejemplo 1, se tiene que f(a) = -1 + 2 = 1 y en el punto (1,1) la ordenada es menor que la ordenada en 0.
-Función constante: Esta es una recta horizontal como en el caso de f(x) = 5 (con m = 0) que corta al eje vertical en el punto (0,5) y permanece constante.
Ordenada (b) en el origen
En una función lineal y = mx + b, el número constante b se denomina ordenada en el origen de la función; pues si se hace x = 0 se obtiene y = m * 0 + b = b; luego (0,b) es el punto de corte del eje Y con el gráfico de la función afín, es decir, b es la ordenada del punto de corte del eje vertical con la recta dada por la función afín.
Ejemplo
a) Hallar el punto de corte de la función afín y = 5x - 8 con el eje vertical. Como b = -8 entonces el punto de corte con el eje vertical es (0, -8).
Posición de rectas en el plano según sus pendientes
Si dos rectas son paralelas, entonces al cortar el eje horizontal se forman dos ángulos correspondientes congruentes ∢ 1 = ∢ 2. Por lo tanto, las dos rectas tienen la misma inclinación con respecto al eje horizontal, y en consecuencia tienen igual pendiente.
-Dos rectas dadas por su función afín son paralelas siempre y cuando tengan la misma pendiente.
-Dos rectas son perpendiculares si y solo si el producto de ambas pendientes es igual a -1.
Ejemplo
Hallar la función cuya gráfica pasa por P(-1,2) y es paralela a y = 2x + 3. La función buscada es de la forma y = mx + b; por lo cual se deben hallar los valores de m y de b.
Como ambas funciones tienen la misma pendiente, m = 2; la función debe ser de la forma y = 2x + b.
Ya que el punto P está en la recta, sus coordenadas x = -1 y y = 2 deben satisfacer la ecuación así: 2 = 2 * (-1) + b → 2 = -2 + b → b = 4.
La función buscada es: y = mx + b.
Ecuación de la pendiente
Es posible calcular la pendiente de una recta que pasa por dos puntos dados P y Q. Si P(x1, y2) son dos puntos que pertenecen a la función y = mx + b, entonces se cumple que : y1 = mx1 + b; y y2 = mx2 + b. Al despejar b en cada ecuación se tiene que:
b = y1 - mx1
b = y2 - mx2
Los valores x1 y x2 deben ser distintos puesto que no se puede dividir entre cero; en caso de que fuesen iguales, la recta que pasa por los puntos es vertical y no tiene pendiente.
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
Ecuación general de la recta
El inconveniente que posee la ecuación se basa en la y = mx + b, esta no representa las rectas verticales en el plano cartesiano. Si se despeja el número 0, la ecuación anterior puede escribirse en la forma Ax + By + C = 0, y de esta manera se representa en cualquier recta en el plano. Entonces la ecuación Ax + By + C= 0 se denomina ecuación general de la recta, en la cual los coeficientes A y B no pueden ser nulos.
Si A= 0, entonces la ecuación general se convierte en By + C = 0, que al despejar y resulta y = - C/B, y esta representa una recta horizontal.
Si B = 0, entonces la ecuación general de la recta se convierte en Ax + C = 0. Al despejar la X la ecuación queda x = - C/A, la cual representa una recta vertical.
En cualquier otro caso, queda la ecuación Ax + By + C = 0, al despejar la y, se obtiene que y = ( - A/B)X + ( - C/B), y al comparar con la función lineal queda como y = mx + b, se tiene que la pendiente es m = - A/B y la ordenada en el origen es b = - C/B.
Ejemplo:
y = ( - 3/5)X + 2.
Al igualarla a 0 se tiene que y + 3/5 X - 2 = 0 → 5y + 3x - 10 = 0.
→ 3x + 5y - 10 = 0. Entonces la ecuación general de la recta es 3x + 5y - 10 = 0.
Construcción de la ecuación de la recta
La ecuación de la recta, bien sea en su forma principal o en su forma general, se puede construir en cualquiera de los siguientes casos:
-Dada la pendiente de la recta y la ordenada en el origen
-Dada los puntos de la recta
-Dados un punto y la pendiente de la recta
-Dados un punto y una recta paralela o perpendicular
Ejemplos
a) Determinar la ecuación general de la recta si la pendiente es -2 y su ordenada en el origen es 12. Luego hallar dos puntos en esa recta y otro que no esté en ella.
Se puede escribir la función lineal y = -2x + 12; al despejar 0 se obtiene la ecuación general 2x + y - 12 = 0.
Por otro lado, si x = 0, entonces y = (-2) * 0 + 12 = 12 y un punto de la recta es (0,12); si x = 1, entonces (-2) * 1 +12 = 10, y otro punto de la recta es (1,10).
Como para y = 10, x debe valer 1, se tiene que el punto (0,10) no está en dicha recta pues x = 0.
b) Determinar la ecuación de la recta que pasa por P(-2,3) y Q(1,3). Debido a que las ordenadas de ambos puntos son iguales, se tiene que la recta es horizontal y su ecuación es y = 3. Su ecuación general es y - 3 = 0.
Fórmula para hallar la ecuación de la recta dados dos puntos.
Hay una fórmula que permite hallar la ecuación de la recta dados dos puntos, sin necesidad de calcular de antemano la pendiente : considera los puntos A (x1, y1) y B (x2, y2); la siguiente expresión representa a la recta que pasa por los puntos A y B: y - y1 = y2 - y1/ x2 - x1 multiplicado por ( x - x1).
Fórmula que permite hallar la ecuación de una recta conocida su pendiente m y un punto de ella.
Sea A(x1, y1). La ecuación de la recta cuya pendiente es m que pasa A está dada por la siguiente ecuación: y - y1 = m ( x- x1).
Al aplicar la formula en este ejemplo con m = 4 y A (3,4).
Se tiene que: y - 4 = 4 ( x - 3)→ y - 4 = 4x - 12
→ y - 4x - 8 = 0.
Ejemplos:
a) Calcular la ecuación de una recta cuya pendiente es 4 y que pasa por el punto A (3,4).
La ecuación queda en que y = 4x + b; ya que el punto A pertenece a la recta. se tiene que: 4 = 4 x 3 + b → 4 = 12 + b
→ 4 - 12 = b
→ b = - 8.
